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1  引言
        功角是表征同步發電機運行狀態和判別電力系統穩定性的重要參量^[1-4]，多年來，功角的測量得到了廣泛的重視和深入的研究。已有的測量方法從原理上主要有兩大類：一類是純電氣測量方法，即采集同步發電機的輸出電壓、電流或/和其他電氣量，進而通過理論分析和計算來獲得功角。該類方法最簡化的情況就是基于穩態公式或相量圖的解析計算法，它在系統穩態運行且發電機的參數比較精確時，能比較準確地計算出功角，而在系統暫態過程中，由于參數時變性、機組鐵心飽和等的影響，方法所依賴的解析公式不能成立，導致較大的計算誤差。另一類方法需要借助非電量傳感器（包含光電或磁電變換）來實現測量。常見的作法是^[1-4]，在轉子軸上設置機械測點或測速齒輪，在轉子周圍安裝光電、電刷或電磁裝置，后者接收由前者產生的脈沖信號或其它與轉子位置或速度相關的量，進而通過一定的變換來實現功角的測量（以下簡稱脈沖法）。脈沖法往往需要對發電機本體進行不同程度的改造，工藝復雜，而且由于采用非電量傳感器，需借助于比較復雜的信號處理和誤差補償技術，以去除諸如機械加工誤差、信號傳輸延時、軸體扭振等導致的結構性誤差；而且針對個案提出的方法很難適用于別的發電機，導致實現代價較大。除了上述兩大類常見方法外，還有學者研究了一些很別致的測量方法，如文[5]提出的應用多層前向神經網絡的映射功能，通過仿真數據訓練并進而用來測量發電機功角的方法，文[7]提出的通過分析機組端電壓的零序諧波分量來測量功角的方法，但這些方法的可靠性有待于在實際電力系統進行驗證。
        本文提出的方法，屬于純電氣測量的范疇。它在已知發電機部分參數的前提下，只需采集機組端電壓和電流，通過數字信號處理，就能估計出發電機的功角。作者將該方法集成到同步相量測量單元（PMU）中，并進而開發了“電網廣域動態監測系統”。2003年3月在清華大學的“電力系統大型發電設備安全控制與仿真國家重點實驗室”完成了“電網廣域動態監測系統”的動態模擬試驗（以下簡稱動模試驗），其中重點測試了本文提出的功角估計方法，并與脈沖法進行了對比。
2  數學模型與定義
2.1  基本關系式
        假定同步發電機為理想電機（即忽略磁飽和、磁路/繞組不對稱和磁動勢/磁通的諧波分量的影響），用d-q同步坐標系中的派克方程模型來描述，設轉子d軸上包含勵磁（f）繞組和阻尼（D）繞組，q軸包含兩個阻尼（Q、K）繞組，忽略0軸，采用標么值描述，則存在如下關系式^[1]

式中  D表示時域或復頻域的微分算子；上述方程及本文其余部分用到的一些典型變量的定義，除特別指出外，均參考文[6]。
        將式(4)代入式(3)，進而代入式(2)，得到

    將式(8)代入式(7)，進而代入式(6)和式(1)，得到


    對方程式(14)兩端依次作逆派克變換和正序變換，并經整理化簡，可以得到如下方程組

U_r 、U_i 、I_r 、I_i 分別為發電機端電壓和輸出電流的正序相量的實部和虛部。
2.2  同步發電機功角的定義
        定義功角δ 為
    δ=θ-θ_ref            (19)
式中θ_ref為轉子電角度的參考值，在多機電力系統中，由于功角的相對值才有意義，因此 θ_ref 的選取主要是視方便而定，它可以取為某參考機組的轉子電角度或系統慣性中心（COI）的等值電角度，甚至是穩態角頻率的積分。
    ，w_ref 為系統轉子角頻率參考值（系統穩態角頻率或慣性中心角頻率）；

這么定義功角δ ，使得系統中任意2臺機組之間的功角差反映了機組轉子間的相對位置，進而可以應用功角來表征系統的運行狀態和穩定水平。
3  估計算法
         功角估計算法包括兩個環節，即首先在一定的假設條件下利用前一節推導的關系式來計算發電機功角，其次針對假設條件在機組次暫態過程中存在誤差，利用搖擺方程對計算結果作進一步修正。
        第一個環節用到了如下假設條件

        （2）暫態過程中，Q 繞組電流衰減很快，故忽略式(12)中的I_Q ，從而有

    （3）△w<<w ，△w<<w_ref 。電力系統正常運行時對頻率有嚴格的要求，故該假設能很好成立。
         利用前一節推導的關系式計算發電機功角的方法為：以△T 為間隔采集發電機三相輸出電壓、電流，然后執行以下步驟：







其中arg(^.) 表示計算矢量的相位角；至此，針對每次采樣數據得到了相應的功角估計值。
        以上計算功角的方法是基于假設條件（1）~（3）的，而在系統遭受大擾動（如短路）后的歷時數十至數百毫秒的次暫態過程中，機組參數是時變的，同時鐵心可能飽和，使得前述假設條件與實際情況有差異，從而導致利用上述方法計算的功角存在一定的誤差，故需作進一步的修正處理。考慮發電機搖擺方程

假設在（次）暫態過程中，原動機功率變化很慢，或P_m=P_e/(1+DT_w) ，則可以得到從P_e 到△w的近似傳遞函數

進而有如下修正方法：
        （1）令由第一個環節得到功角為δ₀(t) _。
        （2）根據式(24)用數值方法計算△w 。
        （3）計算次暫態程度指數λ 。λ 是一個表明系統當前狀態遠離次暫態的程度的系數， λ→0 表示系統正處在次暫態過程中，λ→1 表示擾動后的（次）暫態過程基本結束。λ 的計算方法為


        上述計算方法的含義為：保存最近的時間長度約為2倍次暫態時間常數內的端電壓有效值，以當前端電壓有效值偏移這段時間內的端電壓有效值的程度來近似確定當前狀態遠離次暫態的程度。常數k₁,k₂ 的選取原則是：當偏移值在允許的靜態誤差范圍內（如1％）時，λ(t) 約為1；當偏移值超出允許的動態誤差范圍（如20％）時，λ(t) 接近0。

        將上述功角測量算法集成到開發的PMU中，當PMU安裝在發電機組出口高壓/低壓母線上時，就可以通過適當的參數配置，對電網中的發電機功角進行同步測量，進而為實現廣域電網的動態安全監控提供了更有利的條件。
4  動模試驗結果
        圖1所示為動模試驗系統，包括2臺發電機和1個等值無窮大電源，主要的網絡參數已在圖中標出，在母線1、2和3處各設置1個PMU。在機組G2上安裝了脈沖法測角裝置，其基本原理是：在轉軸上設置金屬接觸電極，環繞轉軸設置固定的碳刷電極，當電機轉子旋轉時，由于兩者的接觸與脫離使得附加電路輸出一個脈沖序列，將其與無窮大母線電壓生成的脈沖信號進行對比，進而可以求出機組的電氣功角。

計算取η=0.001，T_w=5.0s,k₁=1.5, k₂=40。
        在動模試驗中，PMU對PT、CT的幅值和角度誤差進行了補償，CT正常工作范圍為額定值的0~30倍。為了測試算法的有效性，在如下兩種擾動情況下進行試驗：
        擾動1：機組G1、G2間的聯絡線L5無故障斷開后不再重合。
        擾動2：母線5處發生三相瞬時短路故障，持續時間為0.21s。
        試驗結果如圖2和圖3，虛線代表脈沖法實測的功角，實線為本文算法得到的功角曲線。
        從試驗結果來看，在系統穩態和暫態過程后期，兩種方法得到的結果吻合得很好，在擾動期間及其后一小段時間內，測量結果的差別稍大（如擾動2情況，最大達到6o），但兩者的動態變化趨勢是一致的。

5  結論
        （1）測量算法的推導是基于同步發電機派克方程的，考慮了轉子上d 軸含勵磁(f) 繞組和阻尼(D) 繞組，以及q 軸兩個阻尼(Q、K) 繞組；因此，方法適用于汽輪發電機和水輪發電機。
        （2）方法利用發電機端電壓、輸出電流的交流采樣值和部分參數來實現測量，不包括非電氣傳感器，故易于實現、通用性好、代價低。
        （3）動模試驗結果表明，在系統穩態和暫態過程后期，新的電氣測量方法與脈沖法實測的結果吻合得很好，在擾動期間及其后一段時間，兩者結果的差別稍大，但具有一致的動態變化趨勢；即：新方法具有令人滿意的測量精度。