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科普知識
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有源濾波器

非常詳盡!通用型有源濾波器原理分析

發布日期:2022-10-09 點擊率:440

【導讀】通用型有源濾波器是一大類基于運放和電阻、電容構成的二階有源濾波器,由于它們同時可以實現低通、高通、帶通、帶阻等多種濾波形式,所以被稱為通用型有源濾波器。

從數學原理上來說,通用型有源濾波器可以用如下的系統框圖來表示。

圖1:典型的二階系統的信號流圖

上面是一個典型的二階系統的信號流圖,利用Mason 公式可以很容易的得到系統各個通路的傳遞函數:

 

上面三個式子分別對應高通、帶通和低通濾波器,如果將u、v、w三路信號加權疊加則可以組成任意的二階系統。

二階系統傳遞函數的分母多項式的標準形式為:

 

經比較可知,大環路增益b決定二階系統的固有頻率,小環路的增益a決定系統的阻尼系數,也就是決定系統的品質因數Q。

狀態變量濾波器

狀態變量濾波器也被稱為KHN 濾波器,屬于通用型有源濾波器的一種實現形式,由Kerwin、Huelsman’Newcomb與1967年提出的。電路的基本形式如下。


圖2:反向輸入型KHN 濾波器

 

轉換為信號流圖后如下圖所示。
其中:

 

列寫系統各個通路的傳遞函數如下:

 

將(3)帶入(4)后經整理可得:

 

如果對電阻電容的值做一些限制,公式會變得更簡單。設:

 

可以看出品質因數Q只依賴于R1與R2的比值。而固有頻率只與RC的乘積有關。

 

正向輸入型的KHN濾波器如下圖所示:


圖3:正向輸入型的KHN濾波器

對應的信號流圖如下:

 

從信號流圖上看,僅僅是x(s) 到 u(s) 之間的增益從 -A1 變為 A1,其他的地方完全相同。但是由于R3從運放的負輸入端移動到了正輸入端,所以A1和A3的值發生了很大的變化。

 

列寫系統各個通路的傳遞函數如下:

 

由于A2、A4和A5都沒有變化,所以系統的固有頻率沒有變:

 

如果還是做一些限制:

 

則可以簡化為:

 

正向輸入型和反向輸入型最大的區別在于通頻帶的增益。下面給出低通濾波器時的幅頻特性曲線。兩邊的曲線一對比他們的區別就一目了然了。

 

Tow-Thomas  型二階濾波器

另一種類似的電路形式稱之為 Tow-Thomas 型濾波器。它的基本電路形式如下,其中R3=R6構成一個反向器。


圖5:Tow-Thomas 型濾波器

信號流圖與正向輸入型KHN濾波器完全相同。需要說明的是u(s)是電流信號,表示的是流過C1的電流的大小。

 

但是A1到A5的表達式卻變得簡單的多。

 

列寫系統各個通路的傳遞函數也與正向輸入型KHN濾波器完全相同,這里重復如下:

 

由于u(s)是電流信號,無法直接引出使用,因此也就沒有列出來。將(16)帶入(17)后可得:

 

品質因數和固有頻率計算如下:

 

則可以化簡為:

 

原始信號減去帶通信號就稱為帶阻信號了,因此再增加一個運放就可以實現帶阻型濾波器。


圖6:Tow-Thomas 帶阻型濾波器

這個電路的要點是R1=R2,這樣才能保證原始信號與帶通信號的幅度相同。也就是說要求A1=A3。

 

簡單的說,這種辦法生成的帶阻濾波器其實就是在虛軸上對應位置添加了零點。

圖7:Tow-Thomas 帶阻型濾波器的零、極點分布

帶阻信號如果再與低通信號相加,就能夠組成低通帶阻型或高通帶阻型。下面是電路原理圖。


圖8:Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器

單刀雙擲開關打到3的位置時對應低通帶阻濾波器,打到2的位置時對應高通帶阻濾波器。原理可以這樣分析。首先,傳遞函數可以寫為如下形式:

 

單刀雙擲開關打到3的位置時α的值為正,打到2的位置時α的值為負。α 值的變化對應的是系統零點的移動。α大于0 相當于零點互相遠離。

圖9:Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器的零、極點分布

 (高通/低通)帶阻型濾波器的典型頻響如下面兩幅圖所示。


圖10:低通帶阻型濾波器的幅頻響應


圖11:高通帶阻型濾波器的幅頻響應

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